1.  ص=0، ص هي المجموعة الفارغة.
2.  كيفما كانت ن، (ن+1)=ن∪{ن}، ∪ هو اتحاد مجموعتين.

بعض علماء الرياضيات يعارض نظرية المجموعات، ويعارض البديهيات التي تستخدم لتجنب المتناقضات المكتشفة (كمتناقضة روسيل ، وكثير من المتناقضات الأخرى) التي تشكك في القدرة على إعطاء مبادئ لأجل المنطق والرياضيات.[4] وقد برهن كورت غوديل سنة 1930م على المبرهنة التالية:
1 . في أي نظرية بديهيات تكرارية البديهيات، متماسكة وقادرة على" بناء الحساب" ( كمثال لها حساب بيانو كنتيجة)، يمكننا أن نستحدث خاصية لا يمكن برهنتها ولا رفضها في هذه النظرية.
وبالتالي أصبح من غير المؤكد أن البديهيات التي تؤسس الحساب لن تؤدي إلى متناقضات.

وفي سنة 1931م برهن كورت غوديل على أن نظرية الأعداد لا يمكن أن تكون متماسكة:
2 . إذا كانت ن نظرية متماسكة خاضعة لفرضيات مماثلة، تماسك ن المعبر عنه داخل النظرية ن. لا يمكن برهنته في النظرية ن.
نظن أنه بإمكاننا أن نفلت من نظرية غوديل بإنشاء نظام متكامل حيث أن الخاصيات التي لم يفصل فيها يمكن حلها بإضافة بديهيات جديدة. ولكن النظام الجديد يخضع لشروط مبرهنة غوديل، ويحتوى هو الآخر على خاصيات لا يمكن الفصل فيها.


• [4]
http://www.miskatonic.org/godel.html

النظام الذي يعتمده علماء الرياضيات حاليا، نظام ينتج متناقضات، وإذا حاولوا التخلص منها بإضافة بديهيات، ظهرت متناقضات أخرى جديدة، وقد سميت الكتب التي تتطرق إلى المتناقصات بمسميات غريبة: (الكتاب الذي يجعلك أحمق).
كأن تقول: [هذه الجملة خاطئة] إذا كانت الجملة صحيحة والجملة تصرح بأنها خاطئة، وإذا كانت الجملة خاطئة والجملة خاطئة فإنها صحيحة.[5]
كلمة "حساب" التي تستخدم للإشارة إلى نظرية الأعداد؛ ذكرت في القرآن في 37 آية: الله سريع الحساب ويوم القيامة يوم للحساب...
وفي الآية 12 من سورة الإسراء، جعل الله أشياء لتعلم الحساب:
وَجَعَلْنَا اللَّيْلَ وَالنَّهَارَ آيَتَيْنِ فَمَحَوْنَا آيَةَ اللَّيْلِ وَجَعَلْنَا آيَةَ النَّهَارِ مُبْصِرَةً لِتَبْتَغُواْ فَضْلاً مِّن رَّبِّكُمْ وَلِتَعْلَمُواْ عَدَدَ السِّنِينَ وَالْحِسَابَ وَكُلَّ شَيْءٍ فَصَّلْنَاهُ تَفْصِيلاً
هل هذا الحساب المذكور في القرآن، هو الآخر متناقض؟
أَفَلاَ يَتَدَبَّرُونَ الْقُرْآنَ وَلَوْ كَانَ مِنْ عِندِ غَيْرِ اللّهِ لَوَجَدُواْ فِيهِ اخْتِلاَفاً كَثِيراً
( سورة النساء , الآية 82)
في الرياضيات، المجموعة الفارغة هي المجموعة التي لا تحتوي على أي عنصر، وهي وحيدة.[6]
المجموعة التي لا تحتوي على شيء. لكن تقريب مفهوم المجموعة الفارغة إلى الأذهان ليس بالأمر السهل، غالبا ما يتم تشبيهها بالعلبة الفارغة، لكن العلب كثيرة وليست واحدة، كما أن المجموعة الفارغة ضمن أي مجموعة كانت، وإذا كان الفلاسفة يجعلون العدم في مقابل الوجود، فالعدم في الرياضيات هو المجموعة الفارغة؛ لأن العدم يحتوي على لا شيء، ومجموعة تحتوي على لا شيء إذا وفقط إذا كانت المجموعة الفارغة.[7]
ولفظ شيء يطلق على كل ما له معنى، ويعني في كل موضع بحسب ما سيق له.
أَوَلَا يَذْكُرُ الْإِنسَانُ أَنَّا خَلَقْنَاهُ مِن قَبْلُ وَلَمْ يَكُ شَيْئاً
( سورة مريم , الآية 67)
فهل المادة التي خلق منها الإنسان لم تكن؟
كَلَّا إِنَّا خَلَقْنَاهُم مِّمَّا يَعْلَمُونَ
المعارج 39
كانت المادة ولكنها لم تكن إنسانا، أي إن "شيء" تعني في هذا الموضع "إنسان"؛ فقد أمر الإنسان أن يتذكر أن الله خلقه ولم يكن إنسانا والإنسان إذا تذكر إنما يذكر أنه خلق من نطفة.
وَلَقَدْ خَلَقْنَا الْإِنسَانَ مِن سُلَالَةٍ مِّن طِينٍ
المؤمنون 12
ثُمَّ جَعَلْنَاهُ نُطْفَةً فِي قَرَارٍ مَّكِينٍ
المؤمنون 13
ثُمَّ خَلَقْنَا النُّطْفَةَ عَلَقَةً فَخَلَقْنَا الْعَلَقَةَ مُضْغَةً فَخَلَقْنَا الْمُضْغَةَ عِظَامًا فَكَسَوْنَا الْعِظَامَ لَحْمًا ثُمَّ أَنشَأْنَاهُ خَلْقًا آخَرَ فَتَبَارَكَ اللَّهُ أَحْسَنُ الْخَالِقِينَ
المؤمنون 14
قال ابن تيمية: (وقوله في الحديث الآخر الصحيح: { " كان الله ولا شيء قبله وكان عرشه على الماء وكتب في الذكر كل شيء ثم خلق السموات والأرض " } يراد به أنه كتب كل ما أراد خلقه من ذلك ؛ فإن لفظ "كل شيء" يعم في كل موضع بحسب ما سيقت له كما في قوله: { بكل شيء عليم } و { على كل شيء قدير } وقوله: { الله خالق كل شيء } و { تدمر كل شيء } و { وأوتيت من كل شيء } و { فتحنا عليهم أبواب كل شيء } و { ومن كل شيء خلقنا زوجين اثنين } ).[8]
جاء في لسان العرب. وُجِدَ الشيءُ عن عدَم، فهو موجود، مثل حُمّ فهو محموم؛ وأَوجَدَه الله ولا يقال وجَدَه.
فقد قال عن عدم ولم يقل من عدم لأن اعتقاد المسلمين أن الله لا يخلق شيئا إلا من شيء، فقد قال ابن تيمية: ( فالحدوث مسبوق بإمكانه ولا بد لإمكانه من محل ولهذا لم يذكر الله قط أنه أحدث شيئا إلا من شيء والذي يقول إن جنس الحوادث حدثت لا من شيء هو كقولهم إنها حدثت بلا سبب حادث مع قولهم إنها كانت ممتنعة ثم صارت ممكنة من غير تجدد سبب بل حقيقة قولهم إن الرب صار قادرا بعد أن لم يكن من غير تجدد شيء يوجب ذلك وهذه الأمور كلها من أقوال الجهمية أهل الكلام المحدث المبتدع المذموم وهو بناء على قولهم انه تمتنع حوادث لا أول لها وهؤلاء وأمثالهم غلطوا فيما جاء به الشرع وأخبرت به الرسل كما غلطوا في المعقولات. )[9]
أَمْ خُلِقُوا مِنْ غَيْرِ شَيْءٍ أَمْ هُمُ الْخَالِقُونَ
الطور 35
أليس قد خلقوا من نطفة وعلقة ومضغة؟ قاله ابن عطاء.[10]
العدم كلمة لا توجد لا في القرآن الكريم ولا في الحديث، وهي لغة تعارف عليها أهل النظر كغيرها من الألفاظ الموجود والمخصوص والمؤلف والمركب والمحقق.
العدم في القرآن والحديث كمجموعة غير موجود أما في نظرية المجموعات فالعدم كمجموعة موجود (بديهية المجموعة الفارغة[11])، فهل الوجود (الذي يشمل كل موجود) كمجموعة موجود؟ مجموعة المجموعات في الرياضيات غير موجودة[12]، إذن الوجود كمجموعة غير موجود، أما العدم كمجموعة فهو موجود، وبالتالي العدم في الرياضيات يحمل صفة الوجود أكثر من الوجود.
إن وجدت المجموعة الفارغة، ما هي المجموعة المعدومة؟
ويمكن استنتاج المجموعة الفارغة من بديهيات زرملو فرينكل؛ بوضع علاقة غير معقولة (متناقضة) على عناصر مجموعة:
{س تنتمي إلى أ / س تخالف س}
{ x ∈ A / x ≠ x }
هي نفسها المجموعة:
{ x ∈ A / x ≠ x و x=x }
مثلا: {س عدد طبيعي / س=1 و س=2}
إذن إذا حصل وأفضت نظرية الأعداد الغير متماسكة إلى متناقضة، مثلا: 2 = 1 فإن 2=1 تعني أن
2 ≠ 2
أي أن 2 تنتمي إلى المجموعة الفارغة.
العدم كلمة غير معقولة (مجموعة الأشياء التي ليست أشياء)، العدم ليس له معنى.
فهل إذا اعتبرنا الجملة ج : ج = 1 إذا كانت صحيحة و ج = 0 إذا كانت خاطئة.
و[ ج = 0 إذا وفقط إذا كانت ج = 1 ] تعني أن ج تخالف ج ، لأن 1 تخالف 0 . وبذلك فإن ج تنتمي إلى المجموعة الفارغة.
وبهذا تصبح المجموعة الفارغة غير فارغة، ولكنها تصبح مجموعة المتناقضات أو الباطل.
كما أننا نلاحظ أنهم في نظرية المجموعات يساوون بين الصفر والمجموعة الفارغة، أي أنهم يساوون بين الشيء واللامعقول[13]:
• 0 = {}
• 1 = {0} = {{}}
• 2 = {1} = {{{}}}
• إلى آخره
وفون نيومان عند بنائه لمجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية قال: كل شيء يبتدئ بالمجموعة الفارغة ومنها انطلق ليجد الصفر ثم باقي الأعداد الصحيحة الطبيعية:
• عدد عناصر المجموعة الفارغة هو 0
• عدد عناصر المجموعة {{}} هو 1
• عدد عناصر المجموعة { {} ، {{}} } هو 2
• عدد عناصر المجموعة { { {} ، {{}} } ، {{}} ، {} } هو 3
• إلى آخره
الصفر مع باقي الأعداد، دورهم كبير في حياتنا اليومية. فكيف يكون بناؤهم من اللامعقول؟
الصفر مع باقي الأعداد أشياء خلقهم الله.
ذَلِكُمُ اللّهُ رَبُّكُمْ لا إِلَـهَ إِلاَّ هُوَ خَالِقُ كُلِّ شَيْءٍ فَاعْبُدُوهُ وَهُوَ عَلَى كُلِّ شَيْءٍ وَكِيلٌ
( سورة الأنعام , الآية 102)
إذن لا يجب أن نساوي بين الصفر والعدم مما سيجعل النتائج متناقضة.

• [5]
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgv...ue/Incompl.htm
• [6]
http://www.techno-science.net/?ongle...efinition=6447
• [7]
http://plato.stanford.edu/entries/nothingness/
• مجموع الفتاوي الصفحة 232 [8]
• النبوات الصفحة 51 [9]
• تفسير القرطبي [10]
• [11]
http://mtnmath.com/whatth/node24.html
• [12]
http://www.dma.ens.fr/culturemath/ma...logique/zf.pdf
• [13]
http://sboisse.free.fr/science/maths/construction.html

ورغم أن غودل هو نفسه من أثبت تناقض هذا النظام الذي يعرف ما هو معروف بما هو مجهول ( الأعداد بالمجموعة الفارغة )، فإنه في آخر أيام حياته أنجز دليله الوجودي لمعرفة أعرف المعارف وهو الله بمجموعة من البديهيات[14]، فإذا صدقت النفس بأمرين كليهما، لكن صدقت بأحد الأمرين قبل والآخر بعد، كانت النفس تصدق بأحدهما ملتفتة إليه نفسه، وبالآخر ليس ملتفتة إليه نفسه بل ملتفتة إلى الأول، فكان التصديق بالأول أشد لهذا المعنى، فالسالك لمعرفة البارئ بهذه الطريقة سيكون تصديقه بمبادئها ومقدماتها أكثر من تصديقه بالله الذي أثبتته هذه المبادئ. فالإيمان يرتسم في النفس ارتساما أوليا ليس ذلك الارتسام مما يحتاج إلى أن يجلب بأشياء أعرف منه. والإيمان هو عمل بالأركان وقول باللسان وتصديق بالجنان‏.‏‏ والأركان التي يجب التصديق بها كما في حديث جبريل ‏"الإيمان أن تؤمن بالله وملائكته وكتبه ورسله واليوم الآخر والقدر خيره وشره‏"‏ وهذه الأركان هي المبادئ التي يجب قبولها في أول العقل، أو بالحس والتجربة، أو بقياس بديهي في العقل، أما القياس البرهاني فيستلزم القبول بمبادئ وأركان قبلها تكون أعرف منها.
إن في خلق السماوات والأرض واختلاف الليل والنهار والفلك التي تجري في البحر بما ينفع الناس وما أنزل الله من السماء من ماء فأحيا به الأرض بعد موتها وبث فيها من كل دابة وتصريف الرياح والسحاب المسخر بين السماء والأرض لآيات لقوم يعقلون البقرة 164.
تأمل العبد في خلق الله ليس قياسا برهانيا يكون من مقدمات البرهان، وإنما هو قياس بديهي في العقل بالحس والتجربة يجعله يقبل بأركان الإيمان ليجعلها مقدمات لكل عمله وقوله، لهذا المؤمن يحاول أن لا يعمل عملا أو يقول قولا يخالف إيمانه. والمقدمة هي مبدأ برهان ولا وسط لها البتة ولا تكتسب من جهة غير العقل، وتسمى العلم المتعارف والمقدمة الواجب قبولها، والمقدمة بالجملة، قيل إنها أحد جزئي القول الجازم: إما الموجب، و إما السالب. وقد تحدّ بأنها قول حُكِم فيه بشيء على شيء وأُخبِر فيه بشيء في شيء. وهذه: منها موجبة، ومنها سالبة. لذلك فالقول الذي يحكم فيه بالحق على الباطل هو مقدمة منها يؤتلف القياس البرهاني. والله هو الحق قول حكم فيه بالحق على الباطل فهو مقدمة صادقة وعلم متعارف لأن الله سخر للعبد آيات يتبين له منها ذلك:
سَنُرِيهِمْ آيَاتِنَا فِي الْآفَاقِ وَفِي أَنفُسِهِمْ حَتَّى يَتَبَيَّنَ لَهُمْ أَنَّهُ الْحَقُّ أَوَلَمْ يَكْفِ بِرَبِّكَ أَنَّهُ عَلَى كُلِّ شَيْءٍ شَهِيدٌ
فصلت الآية 53.
وقيل: إن سيبويه رؤي في المنام. فقيل: ما حالك عند الله؟ فقَالَ: قد غفر لي، لأني جعلت أعرف المعارف "الله".
• [14]
http://plato.stanford.edu/entries/on...nts/#GodOntArg

إذا كان النظام الذي وضعه علماء الرياضيات، ينطلق من المجموعة الفارغة، أي من العدم، العدم الذي لا يؤثر على المخلوقات، فإن نظام الحساب المذكور في الآية يعتمد على أكثر المخلوقات تأثيرا على الأرض، وهما الشمس والقمر[15].
وَجَعَلْنَا اللَّيْلَ وَالنَّهَارَ آيَتَيْنِ فَمَحَوْنَا آيَةَ اللَّيْلِ وَجَعَلْنَا آيَةَ النَّهَارِ مُبْصِرَةً لِتَبْتَغُواْ فَضْلاً مِّن رَّبِّكُمْ وَلِتَعْلَمُواْ عَدَدَ السِّنِينَ وَالْحِسَابَ وَكُلَّ شَيْءٍ فَصَّلْنَاهُ تَفْصِيلاً ( سورة الإسراء , الآية 12)
[فكرة العدد : نفس الأشياء وليس نفس الشيء.
الأصل المطلق للرؤية التي يحملها العدد في العالم هي، بعينيه فقط، جميع الأشياء هم ( نفس الأشياء )، ولكنهم ليسوا نفس الشيء.
العدد، في الحقيقة، يلعب في خانتين:
المتشابه والمختلف. الأشياء التي نريد عدها متشابهة كما هي ومختلفة من حيث أنها ليست نفس الشيء. إذا لم تكن مختلفة فلن يكون في العالم إلا شيء واحد.
هذه عدة أشياء مجتمعة. الأخذ بعين الاعتبار فقط؛ تشارك هذه الأشياء في الوجود، هو قول كم هي. لإنجازه يجب ملاحظة أنهم موجودين، وموجودين بنفس الشكل: ليس هناك من يوجد بشكل مختلف عن الآخرين. وهذا مع تأكيد أنهم مختلفين الواحد عن الآخر، مع عدم توضيح اختلافهم.]
مترجم من كتاب إمبراطورية الأعداد لدنس كدج[16].
روى أبو جعفر بن جرير من طرق متعددة جيدة أن ابن الكواء سأل أمير المؤمنين علي بن أبي طالب فقال : يا أمير المؤمنين ما هذه اللطخة التي في القمر ؟ فقال ويحك أما تقرأ القرآن؟ فمحونا آية الليل فهذه محوه.
وقال قتادة في قوله "فمحونا آية الليل" كنا نحدث أن محو آية الليل سواد القمر الذي فيه[17].
الأشياء تنقسم إلى قسمين: مرئية وغير مرئية. والليل أهم شيء غير مرئي ولا يسمح برؤية الأشياء. أما النهار، فهو أهم شيء مرئي ويسمح برؤية الأشياء.
وقد جعل الله الليل والنهار أصلا لبناء الحساب.
آية الليل سواد القمر الذي فيه، وهذا الجزء من القمر شيء ولكنه غير مرئي.

وَجَعَلْنَا اللَّيْلَ وَالنَّهَارَ آيَتَيْنِ:

الآية هي العلامة[18].
ليكن 0 علامة ليل و 1 علامة نهار.( 1و0 مجرد رمزين اخترتهما من أجل بناء الصفر والواحد)
{….,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0, 1,0,1,0,1,….}
الليالي منفصلة ولها نفس العلامة، نقول إنها متساوية.
علامتا ليلتين منفصلتين متساويتان: 0 = 0
علامتا نهارين منفصلين متساويتان: 1 = 1
0+1: علامة يوم. 0+1 = 0+1
الليل يختلف عن النهار 1 ≠ 0

تعريف:
نسمي مجموعة كل تشكيلة عناصرها يختلف بعضها عن البعض.
{0 ، 1} مجموعة.
هذه التشكيلات ليست بمجموعات:
{.........،0،0،0،......}
{......،1،1،1،.......}
{......،0+1،0+1،0+1،...........}
وعناصر كل تشكيلة منها وجدت بنفس الشكل: ليس هناك من يوجد بشكل مختلف عن الآخرين. وهذا مع تأكيد أنهم منفصلين الواحد عن الآخر.
ليل ونهار هو يوم. {0،1} هو {0+1}.
مجموعة من عنصرين هي مجموعة من عنصر واحد.
هنا نفرق ما بين تساوي و هو. أما في الرياضيات المتبعة فهما متطابقان.
بالإضافة إلى أن حدي تساوي وتخالف والجمع عليهما أن يكونا منفصلين. أما حدي هو فهما متطابقان.

فَمَحَوْنَا آيَةَ اللَّيْلِ